Bifurcación de Hopf degenerada múltiple - Torresi, Ana.; Cendra, Hernán, 1943- (2002)
Se llama bifurcación de Hopf al fenómeno que ocurre en una ecuación de evolución dependiente de un parámetro, cuando de una solución de equilibrio, nace una familia de órbitas periódicas al superar el parámetro un valor crítico. El teorema original de Hopf (1942) que encontramos en ³44, 67³, determina condiciones suficientes para la aparición de soluciones periódicas locales en un sistema uniparamétrico de ecuaciones diferenciales ordinarias en IRn, a partir de un valor crítico del parámetro. El estudio de oscilaciones en torno a puntos de equilibrio en aplicaciones ha impulsado el desarrollo de la teoríade bifurcación de Hopf, extendiéndola en varias direcciones y aplicándola en numerosos e importantes ejemplos. Cabe mencionar que entre las motivaciones originales de H. Poincaré. A. Andronov y E. Hopf se encuentra el estudio de problemas de oscilaciones de fluídos y problemas de mecánica, ver por ejemplo [2,3,4,5,6,44,73]. Un estudio bibliográfico detallado desde los orígenes hasta la actualidad del desarrollo de este tema lo encontramos en [81]. El marco matemático en el cual se enuncian y prueban las diversas extensiones del teorema de bifurcación de Hopf ha evolucionado dando resultados cada vez más poderosos. El debilitamiento de las hipótesis originales de Hopf conduce a estudiar los llamados casos de bifurcación de Hopf degenerada. El objeto principal de esta tesis es extender algunos resultados existentes sobre bifurcación de Hopf degenerada, en particular cuando la hipótesis (Hl) no se verifica, es decir, la parte lineal del sistema tiene un autovalor imaginario puro simple y no hay múltiplos enteros de éste. Hasta el momento se conocen los resultados de H. Kielhöfer [53], y A. Vanderbauwhede [82] en donde se permite que el autovalor imaginario puro no sea necesariamente simple y el de J. Ize [47] en donde hay múltiplos enteros del autovalor imaginario puro. En ésta tesis estudiaremos en particular el caso en que la linealización del sistema tiene un autovalor imaginario puro simple y además hay múltiplos enteros de éste no-semisimples, donde como casos particulares se recuperan los resultados de E. Hopf [44], de A. Vanderbauwhede [82], y el resultado de H. Kielhöfer [53] para dos autovalores semisimples. El objetivo es determinar condiciones que permitan la aparición de al menos una familia de órbitas periódicas que nace de una solución de equilibrio. Presentaremos un teorema donde se da información sobre la existencia de soluciones periódicas, el número de ramas dependiendo del número de autovalores y la forma de la solución. Y por último estudiaremos el caso en que haya cualquier tipo de autovalores imaginarios puros y determinaremos la forma exacta de la ecuación de bifurcación. La tesis está organizada como sigue. En el Capítulo I, introduciremos el fonómeno de bifurcación de Hopf con ejemplos simples y concluiremos con el enunciado de la versión del teorema de bifurcación de Hopf que aparece en [36]. Luego daremos la noción de bifurcación de Hopf degenerada. Y por último enunciaremos algunos resultados importantes de degeneración cuando la hipótesis (Hl) del teorema de bifurcación Hopf falla. En el Capítulo II estudiaremos un caso particular, en que el sistema tiene un autovalor imaginario puro simple y además hay múltiplos enteros de éste, no-semisimples. Utilizaremos como técnica la redución de Lyapunov-Schmidt para obtener la ecuación de bifurcación y hallaremos la expresión de la ecuación en coordenadas. Estudiaremos casos particulares de interés de la ecuación y por último daremos un teorema general de existencia con información sobre el número de ramas bifurcadas dependiendo del número de autovalores y la expresión de la o las soluciones. En el Capítulo III determinaremos exactamente la forma de la ecuación de bifurcación para un sistema en el cual la parte lineal del mismo posee autovalores imaginarios puros, posiblemente unos múltiplos enteros de otros, con bloques de Jordan de cualquier dimensión. Conocer la forma de la ecuación contribuirá al estudio de ecuaciones que aparecen en las aplicaciones con estas características, como por ejemplo: [12,13,50,68]. CALIFICACION DEPARTAMENTO DE GRADUADOS Calificación de la defensa oral: Sobresaliente - 10 (diez) Fecha: 09/09/02