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Teoría de singularidades en el estudio de bifurcación
Introducción: El uso de la teoría de singularidades en la teoría de bifurcación ha sido desarrollado con éxito en varios trabajos, ver por ejemplo [26, 25, 27, 28]. Hay una gran variedad de problemas relacionados con soluciones múltiples, es decir bifurcaciones, que puede tratarse con los métodos descriptos en esta tesis. Por ejemplo: el estudio de soluciones estacionarias de sistemas de evolución y el estudio de solucionse de sistemas de ecuaciones diferenciales, que se pueden reducir por medio del proceso de Lyapunov-Schmidt a resolver un sistema finito de ecuaciones, por ejemplo la bifurcación de Hopf, ver [15, 29, 32, 42]. Un tratamiento de la reducción de Lyapunov-Schmidt, se puede encontrar en [26, 46, 52, 17]. La mayor parte de los teoremas aquí presentados se encuentran en [26, 25]. Daremos a continuación una breve descripción heurística de las ideas involucradas en esta tesis, del trabajo realizado y los objetivos perseguidos. Consideremos la ecuación g(x,landa) = O, (O.1) donde g es una función de clase C~ que depende de la variable de estado ... y del parámetro ..., llamado parámetro de bifurcación, y toma valores en ... En general supondremos que ... satisface esta ecuación y trabajaremos en una vecindad de este punto. Entendemos por bifurcación un cambio en la cantidad de soluciones de (O.1) x = x(landa), cerca de (O,O), cuando el parámetro landa cruza un valor crítico. Llamamos diagrama de bifurcación al conjunto solución de (O.1) cerca de (O,O). En forma descriptiva diremos que dos ecuaciones como (O.1) son equivalentes si sus conjuntos solución son "cualitativamente iguales" cerca de (O,O). Dada g queremos dar una caracterización de todas las funciones equivalentes a g. Llamamos problema del reconocimiento a encontrar esta caracterización. Generalizamos el problema (O.1) para estudiar una ecuación de la forma G(x, landa, alfa) = O, (O.2) donde alfa = ... representa k parámetros auxiliares. Llamaremos a G un desenvolvimiento de g si para alfa = O tenemos que G(x, landa, O) = g(x, landa). (O.3). Diremos que G es un desenvolvimiento universal si variando el parámetro alfa se obtienen todos los diagramas de bifurcación, salvo equivalencia, que se pueden tener perturbando g y si el número de parámetros es el mínimo que da esta condición. Llamamos codimensión de g al número de parámetros de cualquier desenvolvimiento universal. Los objetivos en esta tesis son: 1. Describir un método sistemático que resuelva el problema del reconocimiento. 2. Dado un germen g de codimensión finita, encontrar un desenvolvimiento universal de g. 3. Identificar todos los diagramas de bifurcación no equivalentes que surgen en un desenvolvimiento dado. En el capítulo 1 se dan las herramientas preliminares. Comenzaremos el capítulo 2, definiendo equivalencia y espacio tangente y continuamos con las herramientas necesarias para resolver el problema del reconocimiento. En la sección 2.2 damos una versión que soluciona en parte el problema del reconocimiento para gérmenes dependientes de una variable de estado x n-dimensional y un parámetro. Este trabajo representa una parte original de esta tesis y está basado en el capítulo II de [25], el cual desarrolla técnicas que permiten reconocer problemas equivalentes para gérmenes dependientes de una variable de estado unidimensional y un parámetro. Comenzamos el capítulo 3 dando una breve idea del concepto de determinación finita. En este capítulo desarrollamos las ideas relacionadas con codimensión y desenvolvimientos. Aquí cumplimos los dos últimos objetivos mencionados antes. Los gráficos correspondientes a diagramas de bifurcación, presentados en esta tesis se han realizado con el programa LOCBIF [30]. CALIFICACION DEPARTAMENTO DE GRADUADOS Calificación de la defensa oral:Sobresaliente - 10(diez) Fecha: 16/7/99
Tesis(magíster)--Universidad Nacional del Sur. Departamento de Matemática, 1999.